Turunan Fungsi Trigonometri SMA

Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?
mari kita pahami rumusnya serta  berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….
dimana f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h} maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

f(x) = sin\:x maka f'(x)= cos\:x
f(x) = cos\:x maka f'(x)= - sin\:x
f(x) = a.sin\:(bx+c) maka f'(x)= ab.cos\:(bx+c)
f(x) = a.cos\:(bx+c) maka f'(x)= -ab.sin\:(bx+c)
contoh:
1.\:f(x)= 3cos\:x maka f'(x)=-3sin\:x

2.\:f(x)=2sin\:5x maka f'(x)=10cos\:5x

3.\:f(x)=4.cos(3x+\pi)
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & {-4}.3.sin(3x+\pi)\\ & = & {-12}.sin(3x+\pi)\end{array}


Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

1.\:f(x)=sec\:x tentukan f ‘(x) !
jawab
\begin{array}{rcl}f(x) & = & sec\:x\\ & = & \frac{1}{cos\:x}\end{array}
\begin{array}{lcl}u=1 & maka & u'=0\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{align*}f'(x) & = & \frac{u'.v-v'.u}{v^2}\\ & = & \frac{0.cos\:x-(-sin\:x).1}{(cos\:x)^2}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos^2\:x}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos\:x}.\frac{1}{cos\:x}\\ & = & tan\:x.sec\:x\end{align*}
2.\:f(x)=(x^2+2).sin\:x tentukan f ‘(x)!
jawab:
\begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u'=2x\\v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 2x.sin\:x+cos\:x.(x^2+2)\\ & = & 2x\:sin\:x+x^2.cos\:x+2\:cos\:x\end{array}
Turunan ke-n
diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.
1.\:f(x)=4x^2.cos\:x tentukan turunan kedua dari f(x)!
jawab.
*kita cari turunan pertama  dulu ya..
\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.cos\:x+(-sin\:x).4x^2\\ & = & 8x.cos\:x-4x^2.sin\:x\end{array}
*perhatikan untuk f'(x)=8x.cos\:x-4x^2.sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f ‘(x) adalah a  dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…
*ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan a=8x.cos\:x
\begin{array}{lcl}u=8x & maka & u'=8\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8.cos\:x+(-sin\:x).8x\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x\end{array}
*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan b=4x^2.sin\:x
\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}b' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.sin\:x+(cos\:x).4x^2\\ & = & 8x.sin\:x+4x^2.cos\:x\end{array}
*nah, kembali ke f''(x)=a'-b'
\begin{array}{rcl}f ''(x) & = & a'-b'\\ & = & (8.cos\:x-8x.sin\:x)-(8x.sin\:x+4x^2.cos\:x)\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x-8x.sin\:x-4x^2.cos\:x\\ & = & 8.cos\:x-16sin\:x-4x^2.cos\:x\end{array}
selesai,deh…..coba yang lain yuk!
2.\:f(x)=x.cos\:x+sin\:x tentukan turunan ke-empat dari f(x) !
jawab:

*f(x)=x.cos\:x+sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…
a=x.cos\:x
\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.cos\:x+(-sin\:x).x\\ & = & cos\:x-x.sin\:x\end{array}
b=sin\:x maka b'=cos\:x
\begin{array}{rcl}f'(x) & = & a'+b'\\ & = & (cos\:x-x.sin\:x)+(cos\:x)\\ & = & 2.cos\:x-x.sin\:x\end{array}
*f'(x)=2.cos\:x-x.sin\:x mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘
c=2.cos\:x maka c'=-2.sin\:x
d=x.sin\:x
\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}d' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.sin\:x+cos\:x.x\\ & = & sin\:x+x.cos\:x\end{array}
\begin{array}{rcl}f''(x)& = & c'-d'\\ & = & (-2.sin\:x)-(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {-2}.sin\:x-sin\:x-x.cos\:x\\ & = & {-3}.sin\:x-x.cos\:x\end{array}
*f''(x)=-3.sin\:x-x.cos\:x mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas a=x.cos\:x maka a'=cos\:x-x.sin\:x
sehingga
\begin{array}{rcl}f'''(x) & = & {-3}.cos\:x-(cos\:x-x.sin\:x)\\ & = & {-3}.cos\:x-cos\:x+x.sin\:x\\ & = & {-4}.cos\:x+x.sin\:x\end{array}
*f'''(x)={-4}.cos\:x+x.sin\:x mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas d=x.sin\:x maka d'=sin\:x+x.cos\:x
sehingga
\begin{array}{rcl}f''''(x) & = & {-4}.(-sin\:x)+(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {4}.sin\:x+sin\:x+x.cos\:x\\ & = & {5}.sin\:x+x.cos\:x\end{array}
waaaaah…..selesai !!!!
begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!
ada yang bertanya soal seperti ini:
3. Jika diketahui y=sin\:x buktikan bahwa turunan ke-n yaitu y^n=sin(x+\frac{\pi}{2}.n) !
jawab:
*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran
y=sin\:x
y'=cos\:x =\:sin(\frac{\pi}{2}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)
y''=-sin\:x =\:sin({\pi}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)
y'''=-cos\:x =\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)
y''''=sin\:x =\:sin({2.\pi}+x)
=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)
… …
dst
… …
dst

… …
dst
sehingga y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n)
terbukti
nah,bagi pertanyaan selanjutnya,selalu ditunggu…
Untuk contoh latihan soal dan pembahasannya di soal turunan trigonometri yah….
*pembaca yang bijak selalu meninggalkan jejak,hehehe….

SUMBER : http://www.meetmath.com/18563-materi-turunan-fungsi-trigonometri.html

Tidak ada komentar:

Posting Komentar