Induksi Matematika Kelas XII

2.1  Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A   S(n) dengan A Ì N  dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.

2.2    Prinsip-prinsip Induksi Matematika

           2.2.1.     Induksi Sederhana.

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1.  p(1) benar, dan

2.  Jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat  positif n ³ 1,

p Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.

p Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.  

p Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n².

Penyelesaian:

(i)    Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1² = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii)   Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan

            1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)²

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

     1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1)

= n² + (2n + 1)

= n² + 2n + 1

= (n + 1)²

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n².  

2.2.2.            Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1. p(n₀) benar, dan

            2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,

               untuk semua bilangan bulat n ³ n₀,

Contoh 2.

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

Penyelesaian:

(i)       Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita  peroleh:

2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1. 

Ini jelas benar, sebab 2⁰ = 1

       = 2⁰⁺¹ – 1

= 2¹ – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

                        2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

                        2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = 2^{(n+1) + 1} - 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2ⁿ⁺¹ = (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi)

                                                                                                =  (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1

                                                                                                = (2 . 2ⁿ⁺¹) – 1

                                                                                                = 2ⁿ⁺² - 1

                                                                                                = 2^{(n+1) + 1} – 1   

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1
 

2.2.3.            Prinsip Induksi Kuat

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1. p(n₀) benar, dan

2. jika p(n₀ ), p(n₀+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀,.

Contoh 4.

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Penyelesaian: 

Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

(a)           Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

(b)          Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain,

            (n + 1)/ a = b   atau (n + 1) = ab

yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £ n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab.                                      Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

2.3  Pengertian Teori Binomial

Teori binomial merupakan perpangkatan dari jumlah atau selisih dua suku tanpa mengkalikan atau menjabarkannya , yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan oleh tanda “+” , atau tanda “-“ sebagai contoh x+y, 2x-5y.

2.4  DasarTeori Binomial

Untuk mengetahui binomial ada beberapa materi yang harus dikuasai terlebih dahulu.Diantaranya :

Ø  Notasi Faktorial

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiapbilangan asli n, didefinisikan:
n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x (n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2 n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 ×

Contoh :

2! = 1∙2 = 2,            3! = 1∙2∙3 = 6 4! = 1∙2∙3∙4 = 24

5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120,           n! = 1∙2∙3…n, (r – 1) ! = 1∙2∙3…(r – 1)

Ø  Kombinasi

Susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Kombinasi r elemendari n elemenditulis :

nKr

Ø  Segitiga Pascal          

Membahas mengenai Teori Binomial tidak akan lepas dari segitiga pascal. Segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segitiga.Penemu segitiga pascal adalah seorang ahli matematika yang bernama Blaise Pascal yang berasaldaridunia barat.Barisan segitiga Pascal secara kebiasaannya dihitung bermula dengan barisan kosong, adalah barisan genap.Pembinaan mudah pada segitiga dilakukan dengan cara berikut.  Di barisan sifar, hanya tuli snomor 1.Kemudian, untuk membina unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara terus di atas dan di kanan untuk mencari nilai baru.Jikalau nomor di kanan atau kiri tidak wujud, gantikan suatu kosong pada tempatnya.Contohnya, nomor pertama di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mananomor 1 dan 3 barisan keempat.

1

1  1

1  2  1

1  3  3  1

1  4  6  4  1

1  5 10 10  5  1

1  6 15 20 15  6  1

                                     1 7 21 35 35 21  7  1

                                   1  8 28 56 70 56 28  8 1

2.5 .Teori Binomial

2.5.1 Ekspansi

Ekspansi merupakan salah satu penjabaran yang terdapat dalam Teori Binomial Newton.Ekspansi atau yang sering kita sebu tpenjabaran adalah cara menguraikan soal-soal teori binomial yang berbentuk perpangkatan dari hasil perkalian berulang. Misalnyauntuk n = 1,n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, dengan mengkalikansetiap factor diperoleh hasi l2orekspansi sebagai berikut :

Ciri-ciri ekspansi yang benar untuk bilangan bulat positif

1.      Banyak suku di ruas kanan adalah satu suku lebih banyak daripada pangkatnya atau eksponennya. Hal ini memberikan gambaran ekspansi  suku.

2.      Suku pertama dari    adalah  dan suku terakhir adalah

3.      Perhatikan hasil ekspansi pada ruas kanan. Jika dibaca dari kiri ke kanan, eksponen dari a berkurang 1 dan eksponen untuk b bertambah 1.

2.5.2 Koefisien Binomial

Koefisian adalah nilai atau ketetapan, koefisien binomial merupakan nilai yang terdapatdi depan suku-suku binom yang sudah di ekspansikan. Untuk mengetahui koefisiennya, harus diekspansikan terlebih dahulu.Dan untuk mengekspansikannya tinggal mengkalikan sesuai dengan eksponennya atau mengikuti aturan dalam segitiga pascal.Namun, bukan berarti untuk mengetahui koefisiennya hanyam engikuti nilai-nilai yang terdapat dalam segitiga pascal.Karena hal tersebut dianggap kurang efisien, maka untuk mengetahui koefisiennya ada formula yang lebih efisien sebagai berikut :

X^n-r . y^r =  . a^n-r . b^r

2.5.3 Hubungan Kombinasi dengan Binomial

Perhatikan ilustrasi dibawah ini :

=

Penjabaran dari merupakan perkalian 3 faktor

=

Kemudian dipilih bagian yang ingin dikalikan dari ketiga factor tersebut.Misalnya, untuk bagian pertama diambil a, bagian kedua diambil a, dan bagian ketiga jug adiambil a, maka diperoleh hasila aa. Jika diambil a pada factorkesatu dan kedua, factor ketiga diambil b, maka akan diperoleh aab, begitu seterusnya. Sehingga kemungkinan pemilihan baik a maupun b terpilih secara sama. Dari hasil pengkalian 3 faktor tersebut akan diperoleh :

aaa,aab,aab,aab,abb,abb,abb,bbb = a³,a²b^, a²b, a²b,ab², ab² ,ab^2,b³

Jika semuasuku di atas dijumlahkan maka akan dihasilkan : a³+3a²b+3ab²+b³

Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari a²b  muncul dari pemilihandari 2 faktordan b dari 1 faktorsisa-nya. Hal ini biasa dilakukan dalam atau . Cara yang sama biasa dilakukan untuk memperoleh koefisien  yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam  atau , dan seterusnya. Melalui hubungan kombinasidengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut.

atau

Sifat-sifat perluasan ( a+b )ⁿ

·           Suku pertama adalah aⁿ dan suku terahir adalah bⁿ

·           Jika kita  berjalan dari suku pertama menuju suku terahir, maka pangkat dari a turun satu-satu dan pangkat dari  b naik satu-satu

·           Jumlah pangkat dari a dan b pada setiap suku sama dengan n

·           Terdapat n+1 suku

·           Koefisien suku pertama adalah , koefisien suku kedua adalah , dan seterusnya dengan =  dan 0 ≤ r ≤ n

2.5.4. Menetukan Suku Pada Binom

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya mengenai teori binomial yang merupakan perpangkatan  yang terdiri dari dua suku yang dipisahkan oleh tanda “+”, “-“. Berdasarkan pengertian tersebut kita dapat mengubah dari binom yang bentuknya pangkat menjadi tidak berpangkat dengan cara menjabarkannya.Sehingga yang awalnya terdiri dari dua suku menjadi lebih dari dua suku.

Adapun cara lain untuk mencari suku ke-n tanpa menggunakan penjabaran yaitu dengan menggunakan rumus berikut :

Suku ke-(r+1) = x^n-ry^r, adapun formula untuk menentutakan suku ke r  dari (a+x)ⁿ₌

2.6 Soal  dan pembahasan induksi matematika :

1.        + 2n  adalah bilangan kelipatan 3, untuk n bil. Bulat positif.

Pembuktian :

n³ + 2n adalah kelipatan 3

Untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :

Untuk n = 1 akan diperoleh :

(ii) Pn :  1³ + 2(1)

 1 = 3 , kelipatan 3

Induksi : misalkan untuk n = k  asumsikan k³ + 2k  =  3x

(iii)adib. Untuk n = k + 1 berlaku:

buktikan benar untuk Pn=k+1

(k + 1)³  + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k³ + 3k² + 3 k + 1) + 2k + 2

(k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

(k³ + 2k) + 3 (k² + k + 1)

            Induksi

3x + 3 (k 2 + k + 1)

3 (x + k 2 + k + 1)

Kesimpulan : n³ + 2n adalah kelipatan 3

Untuk setiap bilangan bulat positif n.

2.       n³ + (n+1)³ + (n+2)³  habis dibagi 9      n bil. Asli

pembuktian:

n³ + (n+1)³ + (n+2)³ habis dibagi 9 untuk n bulat positif.
Berarti n paling kecil = 1
untuk n = 1, maka
1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 <== habis dibagi 9
misalkan benar untuk n = k
maka benar bahwa
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ habis dibagi 9
hendak dibuktikan bahwa benar untuk n= k+1
yaitu hendak dibuktikan bahwa
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ habis dibagi 9

(k+3)³ = k³ + 3k².3 + 3k.3² + 3³
=k³ + 9k² + 27k + 27

jadi
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³
= (k+1)³ + (k+2)³ + k³ + 9k² + 27k + 27
atur ulang urutannya
= k³ + (k+1)³ + (k+2)³ + 9k² + 27k + 27
tetapi k³ + (k+1)³ + (k+2)³ habis dibagi 9
dan masing-masing suku dari 9k² + 27k + 27
juga habis dibagi 9
Jadi terbukti bahwa (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³
habis dibagi 9.
Bukti selesai.

3.       2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n =  n (n + 1).                  n bil. Asli

Pembuktian:

untuk   n = 1
            2 = 1(1+1) ,
            2 = 2

untuk   n = 2
         2+4 = 2(2+1)
            6 = 6

untuk n = k
2 + 4 + 6 + . . . .+ 2k = k (k + 1) . . . (1)

untuk n = k + 1
(2 + 4 + 6 + . . .+ 2k) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
nilai yang dalam kurung sama dg persamaan (1)
k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
(k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2)

terbukti.

4.         Buktikan 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ...... + (3n - 1) untuk n bilangan asli

Jawab:

a. untuk n = 1

     (3.1 - 1) = 2

b.  untuk n = k

     =  2 + 5 + 8 + 11 + 14 + .... + (3k - 1)

c.  untuk n = k + 1

     = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + .... + (3k - 1) + (3 (k + 1) - 1)

=  3 (k + 1) - 1

=  3k + 3 - 1

=  3k + 2     terbukti.

5.       1.2  +  2.3  +  3.4 + ...  + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) /3

Pembuktian :

untuk n=1
1*2 = 1(1+1)(1+2)/3
2 = 2
untuk n = 2
1*2 + 2*3 = 2(2+1)(2+2)/3
8 = 8
untuk n = k
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) /3 .........(1)

untuk n = k + 1
{1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1) } + (k+1) (k+1 +1) = (k+1) (k+2) (k+3) /3
nilai dalam { } sama dg persamaan (1)
(k(k+1) (k+2)) /3 + (k+1) (k+1 +1)       = (k+1) (k+2) (k+3)) /3

(k(k+1) (k+2)) /3 + 3 (k+1) (k+1 +1) /3            = (k+1) (k+2) (k+3) /3
kalikan dengan 3
(k(k+1) (k+2)) + 3 (k+1) (k+2)             = (k+1) (k+2) (k+3)
(k+3) (k+1) (k+2)                                 = (k+1) (k+2) (k+3) terbukti

6.       Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n².

Pembuktian :

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

                  1 = 12 

      1 = 1

Induksi : misalkan untuk n = k   asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k²

adib. Untuk n = k + 1 berlaku :

1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1)                         = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1)                                   = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 )      = (k + 1)²

                        k ² + (2K + 1)               = (k + 1)²

                        k ² + 2K + 1                 = k ² + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n²

Untuk setiap bilangan bulat positif n

2.7 Soal Latihan Teori Binomial

1.	Ekspansikan Jawab: Jikamemakaicararumit, biassajakitamenghitungdengancaramengalikan sebanyak 6 kali. Tapi, karenarumit, kitagunakanteorema binomial. = . + . + . + . + . + . + . Ingatbahwa: = . + . + . + . + . + . + . = + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. +

2. Tentukansuku ke-3 dariekspansi ⁵

Jawab :

Suku ke-3 (S₃) =

                        = ²

                        = 10

                             = 1080            

3.Tentukan Koefisien x²y³ dari kombinasi ( x + 3y )⁵

     Jawab :

X^n-r . y^r =  . a^n-r . b^r

  =  .1².3³

  =   . 1 . 27

  =  . 27

 =   . 27

  = 10 . 27

  = 270

4.  Sukuke 9 dari(  +  )¹².         

Sukuke 9 = )⁴

5. Tentukan jumlah koefisien dari ( -2x + 5y )⁶

Jawab :

( -2x + 5y )⁶ = -2x⁶ + 5 2

=  + 5 5

= -2-60-150-800-150-60+5

=1217

Sumber :http://tiaraarishandy.blogspot.co.id/2015/04/induksi-matematika.html