Getaran Harmonik Sederhana XI

Getaran harmonik atau getaran selaras memiliki ciri frekuensi getaran yang tetap. Pernahkan kita mengamati apa yang terjadi ketika senar gitar dipetik lalu dilepaskan? kita akan melihat suatu gerak bolak-balik melewati
lintasan yang sama. Gerakan seperti ini dinamakan gerak periodik. Contoh lain gerak periodik adalah gerakan bumi mengelilingi matahari (revolusi bumi), gerakan bulan mengelilingi bumi, gerakan benda yang tergantung pada sebuah pegas, dan gerakan sebuah bandul. Di antara gerak periodik ini ada gerakan yang dinamakan gerak harmonik.

Pengertian Getaran Harmonik

Gerak harmonik merupakan gerak sebuah benda dimana grafik posisi partikel sebagai fungsi waktu berupa sinus (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus). Gerak semacam ini disebut gerak osilasi atau getaran harmonik. Contoh lain sistem yang melakukan getaran harmonik, antara lain, dawai pada alat musik, gelombang radio, arus listrik AC, dan denyut jantung. Galileo di duga telah mempergunakan denyut jantungnya untuk pengukuran waktu dalam pengamatan gerak.

Gerak benda pada lantai licin dan terikat pada pegas untuk posisi normal (a), teregang (b), dan tertekan (c)

Untuk memahami getaran harmonik, kita dapat mengamati gerakan sebuah benda yang diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah pegas . Anggap mula-mula benda berada pada posisi X = 0 sehingga pegas tidak tertekan atau teregang. Posisi seperti ini dinamakan posisi keseimbangan. Ketika benda ditekan ke kiri (X = –) pegas akan mendorong benda ke kanan, menuju posisi keseimbangan. Sebaliknya jika benda ditarik ke kanan, pegas akan menarik benda kembali ke arah posisi keseimbangan (X = +).

Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan disebut gaya pemulih. Besarnya gaya pemulih menurut Robert Hooke dirumuskan sebagai berikut.

F_p = -kX

Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pemulih selalu pada arah yang berlawanan dengan simpangannya. Jika kita gabungkan persamaan di atas dengan hukum II Newton, maka diperoleh persamaan berikut.

F_p = -kX = ma atau $a=-\left ( \frac{k}{m} \right )X$

Terlihat bahwa percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum getaran harmonik.

Syarat Getaran Harmonik

Syarat suatu gerak dikatakan getaran harmonik, antara lain :

Gerakannya periodik (bolak-balik).
Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan posisi/simpangan benda.
Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan.

Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik

a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas

kita telah mempelajari gerak melingkar beraturan di kelas X. Pada dasarnya, gerak harmonik merupakan gerak melingkar beraturan pada salah satu sumbu utama. Oleh karena itu, periode dan frekuensi pada pegas dapat dihitung dengan menyamakan antara gaya pemulih (F = -kX) dan gaya sentripetal (F = -4π ² mf²X).

-4π ² mf²X = -kX
4π ² mf² = k

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\text{ atau }T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Periode dan frekuensi sistem beban pegas hanya bergantung pada massa dan konstanta gaya pegas.

b. Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana

Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung tali ringan (massanya dapat diabaikan) yang panjangnya l. Jika beban ditarik ke satu sisi dan dilepaskan, maka beban berayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Jika amplitudo ayunan kecil, maka bandul melakukan getaran harmonik. Periode dan frekuensi getaran pada bandul sederhana sama seperti pada pegas. Artinya, periode dan frekuensinya dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dan gaya sentripetal.

Gaya yang bekerja pada bandul sederhana

Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sinθ . Untuk sudut θ kecil (θ dalam satuan radian), maka sin θ = θ . Oleh karena itu persamaannya dapat ditulis F = -mg ( $\frac{X}{l}$ ). Karena persamaan gaya sentripetal adalah F = -4π ² mf²X, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.

-4π ² mf²X = -mg ( $\frac{X}{l}$ )

4π ² f² = $\frac{g}{l}$

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\text{ atau }T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Periode dan frekuensi bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat.

Persamaan Getaran Harmonik

Persamaan getaran harmonik diperoleh dengan memproyeksikan gerak melingkar terhadap sumbu untuk titik yang bergerak beraturan.

a. Simpangan Getaran Harmonik

Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Gambar diabawah melukiskan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut ω dan jari-jari A. Anggap mula-mula partikel berada di titik P.

Proyeksi gerak melingkar beraturan terhadap sumbu Y merupakan getaran harmonik sederhana.

Perhatikan gambar diatas. Setelah selang waktu t partikel berada di titik Q dan sudut yang ditempuh adalah θ = ωt = $\frac{2 \pi t}{T}$ . Proyeksi titik Q terhadap diameter lingkaran (sumbu Y) adalah titik Qy. Jika garis OQy kita sebut y yang merupakan simpangan gerak harmonik sederhana, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.

Y = A sin θ = A sin ω t = A sin $\frac{2 \pi t}{T}$

Besar sudut dalam fungsi sinus (θ ) disebut sudut fase. Jika partikel mula-mula berada pada posisi sudut θ₀, maka persamaanya dapat dituliskan sebagai berikut.

Y = A sin θ = A sin(ω t + θ₀) = A sin ( $\frac{2 \pi t}{T}$ +θ₀)

Sudut fase getaran harmoniknya adalah sebagai berikut.

$\theta =(\omega t+\theta _{0})=\left ( \frac{2\pi t}{T}+\theta _{0} \right )\text{ atau }\theta =2\pi \left ( \frac{t}{T} +\frac{\theta _{0}}{2\pi }\right )=2\pi \Phi$

Karena Φ disebut fase, maka fase getaran harmonik adalah sebagai berikut.

$\Phi =\frac{t}{T}+\frac{\theta _{0}}{2\pi }$

Apabila sebuah benda bergetar harmonik mulai dari t = t₁ hingga t = t₂, maka beda fase benda tersebut adalah sebagai berikut.

$\Phi =\Phi _{2}-\Phi _{1}=\frac{t_{2}-t_{1}}{T}=\frac{\Delta t}{T}$

Beda fase dalam getaran harmonik dinyatakan dengan nilai mulai dari nol sampai dengan satu. Bilangan bulat dalam beda fase dapat dihilangkan, misalnya beda fase 2¼ ditulis sebagai beda fase ¼.

b. Kecepatan Getaran Harmonik

Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan.

$v_{y}=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(A \text{ sin }(\omega t+\theta _{0}))$
$v_{y}=\omega A\text{ cos }(\omega t+\theta _{0})$

Mengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu, maka kecepatan maksimum (v_maks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.

v_maks = ω A

c. Percepatan Getaran Harmonik

Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan.

$a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{d[\omega A\text{ cos }(\omega t+\theta _{0})]}{dt}=\omega A=\frac{d[\text{cos }(\omega t+\theta _{0})]}{dt}$

a_y = ω A [-ω sin (wt + θ ₀)]
a_y = -ω ²A sin (ω t + θ ₀)
a_y = -ω 2_y

Karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maka percepatan maksimumnya (a_maks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.

a_maks = –ω ² A

Energi Getaran Harmonik

Benda yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah kedua energi ini disebut energi mekanik.

a. Energi Kinetik Gerak Harmonik

Cobalah kita tinjau lebih lanjut energi kinetik dan kecepatan gerak harmoniknya.

Karena E_k =½ mv_y² dan v_y = A ω cos ω t, maka

$E_{k}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2}\text{ cos}^{2}\text{ atau }E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2} \text{ cos}^{2}\omega t$

Energi kinetik juga dapat ditulis dalam bentuk lain seperti berikut.

$E_{k}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}(A^{2}-y^{2})\text{ atau }E_{k}=\frac{1}{2}k(A^{2}-y^{2})$

E_{k maks} = $\frac{1}{2}$ m ω² A², dicapai jika cos² ω t = 1. Artinya, ω t harus bernilai $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi }{3}$ , …, dan seterusnya.

y = A cos ω t

y = A cos $\frac{\pi}{2}$

y = A (di titik setimbang)

E_{k min} = 0, dicapai bila cos² ω t = 0. Artinya, ω t harus bernilai 0, π , …, dan seterusnya.

y = A cos ω t
y = A cos 0
y = A (di titik balik)

Jadi, energi kinetik maksimum pada gerak harmonik dicapai ketika berada di titik setimbang. Sedangkan energi kinetik minimum dicapai ketika berada di titik balik.

b. Energi Potensial Gerak Harmonik

Besar gaya yang bekerja pada getaran harmonik selalu berubah yaitu berbanding lurus dengan simpangannya (F = ky). Secara matematis energi potensial yang dimiliki gerak harmonik dirumuskan sebagai berikut.

Ep = $\frac{1}{2}$ ky²

Ep = $\frac{1}{2}$ m ω ² (A sin ω t)²

Ep = $\frac{1}{2}$ m ω ² A² sin² ω t

E_{p maks} = $\frac{1}{2}$ m ω ² A²dicapai jika sin² ω t = 1. Artinya ω t harus bernilai $\frac{\pi}{2}$ , 3 $\frac{\pi}{2}$ , … , dan seterusnya

y = A sin $\frac{\pi}{2}$

y = A (di titik balik)

Ep min = 0, dicapai jika sin² ω t = 0. Artinya, ω t harus bernilai 0, π , …, dan
seterusnya.

y = A sin ω t
y = A sin 0
y = 0 (di titik setimbang)

c. Energi Mekanik Gerak Harmonik

Energi mekanik sebuah benda yang bergerak harmonik adalah jumlah energi kinetik dan energi potensialnya.

$E_{m}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2}$

Berdasarkan persamaan diatas, ternyata energi mekanik suatu benda yang bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. Jadi, energi mekanik sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama.

E_m = E_{k maks} = E_{p maks}

E_m = $\frac{1}{2}$ m ω ² A²= $\frac{1}{2}$ k A²

Kedudukan gerak harmonik sederhana pada saat E_p dan E_k bernilai maksimum dan minimum.

d. Kecepatan Benda yang Bergetar Harmonik

Untuk menghitung kecepatan maksimum benda atau pegas yang bergetar harmonik dapat dilakukan dengan menyamakan persamaan kinetik dan energi total mekaniknya dimana E_k = E_m.

$v_{m}=A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Sedangkan untuk menghitung kecepatan benda di titik sembarang dilakukan dengan menggunakan persamaan kekekalan energi mekanik

$\text{Diketahui }\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}g\text{, maka }v_{y}=\pm \sqrt{(A^{2}-y^{2})}$

Sumber : http://fisikazone.com/getaran-harmonik/

Anwar Nasrudin

Getaran Harmonik Sederhana XI